Logika Matematika

Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani 'logos' yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (valid, correct) dan yang tidak sahih (tidak valid, incorrect). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu biasanya disebut dengan penalaran (reasoning). 

Logika, penalaran, dan argumentasi sangat sering digunakan di dalam kehidupan nyata sehari-hari, di dalam mata pelajaran matematika sendiri maupun mata pelajaran lainnya. Karenanya, Logika Matematika ini sangat berguna bagi siswa, karena di samping dapat meningkatkan daya nalar, namun dapat langsung diaplikasikan di dalam kehidupan nyata mereka sehari-hari maupun ketika mempelajari mata pelajaran lainnya. 

Tujuan pembelajaran Logika Matematika pada dasarnya adalah agar para siswa dapat menggunakan aturan-aturan dasar Logika Matematika untuk penarikan kesimpulan. Salah satu Standar Kompetensi Lulusan (SKL) untuk siswa Kelompok Sosial, Administrasi Perkantoran dan Akuntasi serta siswa Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian adalah: “Siswa memahami logika matematik dalam pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor serta penerapannya dalam pemecahan masalah.


Pernyataan Tunggal dan Majemuk serta Negasinya

Kebenaran suatu teori yang dikemukakan setiap ilmuwan, matematikawan, maupun para ahli merupakan hal yang akan sangat menentukan reputasi mereka. Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka harus menyusun pernyataan yang bernilai benar. Di samping itu, mereka sering dituntut untuk menegasikan suatu pernyataan ataupun menggabungkan dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan perakit. Bagian ini akan membahas tentang pernyataan, beserta perakitperakit: negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi beserta nilai kebenarannya, dan diakhiri dengan membahas negasi kalimat majemuk.


A. Pernyataan dan Nilai Kebenarannya

Dimulai sejak masih kecil, setiap manusia, sedikit demi sedikit akan melengkapi perbendaharaan kata-katanya. Contohnya, ketika seseorang menyatakan kata ‘meja’, apa yang terbayang di dalam pikiran Anda? Apa yang terjadi jika yang dibayangkan justeru ‘kursi’? Di saat berkomunikasi, seseorang harus menyusun kata-kata yang dimilikinya menjadi suatu kalimat. Perhatikan beberapa kalimat berikut:
1. 5 habis dibagi 2.
2. Agus habis dibagi 3.
3. Presiden RI pertama adalah Soekarno
4. 1 adalah presiden pertama bilangan asli
Hal menarik apa saja yang dapat Anda nyatakan dari kalimat di atas? Pada dasarnya, di saat berkomunikasi, seseorang harus menyusun kata-kata yang dimilikinya menjadi suatu kalimat. Dari tiga contoh kalimat di atas, manakah kalimat yang memiliki arti dan manakah kalimat yang tidak memiliki arti? Kalimat adalah susunan kata-kata yang memiliki arti. Perhatikan sekarang beberapa kalimat yang memiliki arti atau bermakna berikut:

Apakah pintu itu tertutup?
2. Tutup pintu itu!
3. Pintu itu tertutup
4. Tolong pintunya ditutup

Dari keempat kalimat di atas, manakah yang merupakan pertanyaan, perintah, permintaan ataupun pernyataan. Karena setiap ilmuwan, matematikawan, ataupun ahli-ahli lainnya akan berusaha untuk menghasilkan suatu pernyataan atau teori yang benar, maka suatu pernyataan 4 (termasuk teori) tidak akan ada artinya jika tidak bernilai benar. Karenanya, dari empat macam kalimat tersebut di atas, hanya pernyataan saja yang menjadi pembicaraan awal pada logika matematika ini. Suatu pernyataan dapat memiliki nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar atau salah. Pernyataan ini sering juga disebut dengan kalimat deklaratif. Untuk lebih menjelaskan tentang kriteria kebenaran ini perhatikan dua kalimat berikut:

1. Semua manusia akan mati.
2. Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180°.

Pernyataan: “Semua manusia akan mati,” merupakan suatu pernyataan yang bernilai benar karena pada kenyataannya setiap mahluk hidup yang namanya manusia tidak ada satupun yang kekal dan abadi. Pernyataan seperti itu disebut juga dengan pernyataan faktual. Teori-teori Ilmu Pengetahuan Alam banyak didasarkan pada teori korespondensi ini. Karena itu, teori-teori atau pernyataan-pernyataan Ilmu Pengetahuan Alam akan dinilai benar jika pernyataan itu melaporkan, mendeskripsikan, ataupun menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya. Berbeda dengan IPA, Matematika tidak hanya mendasarkan pada kenyataan atau fakta sematamata namun mendasarkan pada rasio dan aksioma. Pernyataan: “Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180°,” diberi nilai benar karena pernyataan itu konsisten atau koheren ataupun tidak bertentangan dengan aksioma yang sudah disepakati kebenarannya dan konsisten juga dengan dalil atau teorema sebelumnya yang sudah terbukti. Rumus yang mendukungnya berbunyi: “Jika dua garis sejajar dipotong garis lain, maka sudut-sudut dalam berseberangannya adalah sama”. Sebagai kesimpulan, suatu kalimat disebut bernilai benar jika hal-hal yang terkandung di dalam pernyataan tersebut sesuai atau cocok dengan keadaan yang sesungguhnya (teori korespondensi) atau konsisten dengan pernyataan-pernyataan sebelumnya (teori konsistensi). Pernyataan pertama sering juga disebut pernyataan faktual. Bagian berikut ini akan menjelaskan tentang perakit atau perangkai yang sering juga disebut dengan operasi.

B. Negasi Suatu Pernyataan

Jika p adalah: "Surabaya merupakan ibukota Provinsi Jawa Timur," maka negasi atau ingkaran dari pernyataan p tersebut adalah ~p yaitu: "Surabaya bukan ibukota Provinsi JawaTimur," atau "Tidak benar bahwa Surabaya ibukota Provinsi Jawa Timur." Dari contoh inijelaslah bahwa jika p merupakan pernyataan yang bernilai benar, maka ~p akan bernilai salah. Begitu juga sebaliknya, jika p bernilai salah maka ~p akan bernilai benar. Secara umum dapat dinyatakan bahwa negasi suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang benilai salah jika pernyataan awalnya benar dan akan bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah, seperti ditunjukkan tabel di bawah ini.
p
~p

B

S
S

B


C. Konjungsi 
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "dan". Contohnya, pernyataan Adi berikut: "Fahmi makan nasi dan minum kopi." Pernyataan tersebut terbentuk oleh dua pernyataan tunggal: "Fahmi makan nasi," serta "Fahmi minum kopi." Dalam proses pembelajaran di kelas, berilah kesempatan kepada siswa untuk bertanya kepada diri mereka sendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas bernilai benar dan dalam hal mana bernilai salah untuk empat kasus berikut, yaitu: Kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi; kasus kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi; kasus ketiga, Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi; dan kasus keempat, Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi. Berdasar 4 kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu konjungsi p ∧ q akan bernilai benar hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya sama-sama bernilai benar.

D. Disjungsi 

Disjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "atau". Contohnya, pernyataan Adi berikut: "Fahmi makan nasi atau minum kopi." Seperti ketika dalam proses pembelajaran konjungsi, berilah kesempatan kepada siswa untuk bertanya kepada diri mereka sendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas bernilai benar dan dalam hal mana bernilai salah untuk empat kasus yang sama. Berdasar 4 kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu disjungsi p ∨ q akan bernilai salah hanya jika komponen 6 komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya sama-sama bernilai salah.

E. Implikasi 
Misalkan ada dua pernyataan p dan q. Yang sering menjadi perhatian para ilmuwan maupun matematikawan adalah menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan mengakibatkan q bernilai benar juga. Untuk mencapai keinginannya tersebut, diletakkanlah kata "Jika" sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan juga kata "maka" di antara pernyataan pertama dan pernyataan kedua, sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan implikasi, pernyataan bersyarat, kondisional, atau “hypothetical” dengan notasi " ⇒ " seperti ini: p ⇒ q. Notasi di atas dapat dibaca dengan: (1) Jika p maka q; (2) q jika p; (3) p adalah syarat cukup untuk q; atau (4) q adalah syarat perlu untuk p. Pada proses pembelajaran di kelas, sebagai salah satu alternatif dapat digunakan pernyataan majemuk berikut ini sebagai contoh: Jika hari hujan maka saya (Adi) membawa payung. Dalam hal ini dimisalkan:

p: Hari hujan.

q: Adi membawa payung.

Berilah kesempatan para siswa untuk berpikir, dalam hal manakah pernyataan majemuk Adi tadi akan bernilai benar atau salah untuk empat kasus seperti biasa. Dari contoh di atas beserta empat kasus yang ada dapatlah disimpulkan bahwa implikasi p ⇒ q hanya akan bernilai salah untuk kasus kedua di mana p bernilai benar namun q-nya bernilai salah.

F. Biimplikasi

Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p ⇔ q yang bernilai sama dengan (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) sehingga dapat dibaca: "p jika dan hanya jika q" atau "p bila dan hanya bila q." Dengan demikian jelaslah bahwa biimplikasi dua pernyataan p dan q hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai sama, yaitu keduanya bernilai salah atau keduanya bernilai benar. Beberapa contoh biimplikasi yang bernilai benar adalah:

1. Suatu segitiga adalah segitiga siku-siku jika dan hanya jika luas persegi pada hipotenusanya sama dengan jumlah luas dari persegi-persegi pada kedua sisi yang lain.

2. Suatu segitiga adalah segitiga sama sisi bila dan hanya bila ketiga sisinya sama.

G. Ingkaran Atau Negasi Pernyataan Majemuk

Berikut ini adalah pembahasan tentang negasi pernyataan majemuk, yaitu negasi suatu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi

1. Negasi Suatu Konjungsi

Karena suatu konjungsi p ∧ q akan bernilai benar hanya jika kedua komponennya bernilai benar. Maka negasi suatu konjungsi p ∧ q adalah ~p ∨ ~q

2. Negasi Suatu Disjungsi

Negasi suatu disjungsi p ∨ q adalah ~p ∧ ~q

3. Negasi Suatu Implikasi
Negasi suatu implikasi p ⇒ q adalah p∧~q

4. Negasi Suatu Biimplikasi
Karena biimplikasi atau bikondisional p ⇔ q ekuivalen dengan (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p); sehingga:
~ (p ⇔ q) ≡ ~[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
≡ ~[(~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)]
≡ ~(~p ∨ q) ∨ ~(~q ∨ p)]
≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)

Latihan 2.1
1. Tentukan kalimat yang tidak memiliki arti, yang bukan pernyataan, dan yang merupakan
pernyataan.
a. Ambilkan Bapak kertas.
b. Tolong tentukan hasil dari 1234 × 4589
c. 3 mencintai Siti.
d. Tadi pagi Fikri bertanya: “Kapan ulangan diadakan?”
e. 2 + 3 = 27

2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
a. Logam jika dipanasi memuai.
b. Presiden RI pertama adalah Soeharto.
c. Penduduk Indonesia adalah 210.000

3. Tentukan negasi dan nilai kebenaran dari pernyataan di atas.

4. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
a. Jika suatu bilangan habis dibagi 9, maka bilangan itu habis dibagi 3
b. Jika suatu bilangan habis dibagi 3, maka bilangan itu habis dibagi 9
c. Jika salah satu sudut suatu segitiga adalah sudut siku-siku, maka segitiga itu adalah
segitiga siku-siku.
d. Jika suatu segitiga adalah segitga siku-siku. maka salah satu sudut segitiga itu adalah
siku-siku
e. Jika x2 = 4 maka x = 2.
f. Jika x = − 2 maka x2 = 4.
g. Jika 3x + 4 = 2 maka x = − 1.

Konvers, Invers, dan Kontraposisi Suatu Implikasi
A. Pengertian dan Contohnya

Perhatikan pernyataan ini: Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera itu. Bentuk umum suatu implikasi adalah:
p ⇒ q
Pada contoh di atas:
p : Bendera RI
q : Bendera yang ada warna merahnya

Dari implikasi p ⇒ q di atas, dapat dibentuk tiga implikasi lain dengan menggunakan p dan q sebagai dasar:
Konversnya, yaitu q ⇒ p Inversnya, yaitu ~p ⇒ ~q Kontraposisinya, yaitu ~q ⇒ ~p Dengan demikian; konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut.” berturut-turut adalah:
1. Jika suatu bendera ada warna merahnya maka bendera tersebut adalah bendera RI (q ⇒ p) atau konvers dari implikasi p ⇒ q.
2. Jika suatu bendera bukan bendera RI maka pada bendera tersebut tidak ada warna
merahnya (~p ⇒ ~q) atau invers dari implikasi p ⇒ q.
3. Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI
(~q ⇒ ~p) atau kontraposisi dari implikasi p ⇒ q.
Berdasar penjelasan di atas, jawablah pertanyaan berikut:
1. Tentukan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisinya.
2. Hal menarik apa saja yang Anda dapatkan dari kegiatan c di atas?
Berhentilah membaca naskah ini, cobalah untuk menjawab pertanyaan di atas. Jawaban pertanyaan di atas adalah sebagai berikut:

Nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisinya.
a. Untuk menentukan nilai kebenaran dari implikasi “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut”; maka yang perlu diperhatikan adalah antesedennya, yaitu: “Suatu bendera adalah bendera RI.” Serta kosekuennya yaitu tentang ada tidaknya warna merah pada bendera tersebut. Implikasi di atas bernilai sama dengan pernyataan berkuantor: “Semua/setiap bendera RI mesti ada warna merahnya.” Karena semua/setiap bendera RI akan selalu ada warna merahnya, maka implikasi di atas bernilai benar

b. Nilai kebenaran konversnya, dalam bentuk q ⇒ p, yaitu: “Jika suatu bendera ada warna merahnya maka bendera tersebut adalah bendera RI,” yang ekuivalen dengan pernyataan: “Setiap bendera yang ada warna merahnya adalah bendera RI.” Pernyataan terakhir ini bernilai salah karena dapat ditunjukkan beberapa bendera yang ada warna merahnya, yaitu bendera Jepang ataupun Polandia yang memenuhi persyaratan pada antesedennya, dimana bendera tersebut memiliki warna merah
namun persyaratan pada konsekuennya tidak dipenuhi, yaitu bendera tersebut bukan bendera RI.

c. Nilai kebenaran inversnya, dalam bentuk ~p ⇒ ~q, yaitu: “Jika suatu bendera bukan bendera RI maka bendera tersebut tidak ada warna merahnya.” Sekali lagi, pernyataan di atas adalah ekuivalen dengan pernyataan: “Setiap bendera yang bukan bendera RI tidak ada warna merahnya.” Pernyataan ini jelas bernilai salah karena dapat ditunjukkan adanya bendera yang bukan bendera RI namun bendera tersebut ada warna merahnya, yaitu bendera Jepang ataupun Polandia.

d. Nilai kebenaran kontraposisinya, dalam bentuk ~q ⇒ ~p, yaitu: “Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI.” Pernyataan di atas adalah ekuivalen dengan pernyataan: “Setiap bendera yang tidak ada warna merahnya adalah bukan bendera RI.” Pernyataan seperti ini jelas bernilai benar.

B. Ingkaran Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisinya.

Contoh soalnya adalah:
1. Tentukan ingkaran atau negasi dari implikasi: “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih.”
2. Tentukan juga ingkaran dari konvers, invers, dan kontraposisi implikasi di atas. Untuk menjawab pertanyaan tadi dan untuk menentukan negasi atau ingkaran konvers, invers, dan kontraposisi maka pengetahuan tentang negasi yang sudah dibahas di bagian depan sangat penting dan menentukan, terutama pengetahuan untuk menentukan negasi atau ingkaran soal nomor 1 s.d. 3 di bawah ini.
1. p ∧ q
2. p ∨ q
3. p ⇒ q
4. q ⇒ p
5. ~p ⇒ ~q
6. ~q ⇒ ~p

Sebagai pengecek, bandingkan hasil yang Anda dapatkan dengan jawaban di bawah ini.
1. ~p ∨ ~q
2. ~p ∧ ~q
3. p ∧ ~q
4. q ∧ ~p
5. ~p ∧ q
6. ~q ∧ p

1. Dengan demikian, ingkaran atau negasi dari implikasi “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih.” adalah: Ada atau terdapat bendera RI namun bendera tersebut tidak berwarna merah dan putih

2. Negasi atau ingkaran dari konvers, invers, dan kontraposisi suatu implikasi tadi berturut-turut adalah:
a. Negasi konvers: Ada bendera berwarna merah dan putih namun bendera tersebut bukan bendera RI.
b. Negasi invers: Ada bendera yang bukan bendera RI namun bendera tersebut berwarna merah dan putih
c. Negasi kontraposisi: Ada bendera yang tidak berwarna merah dan putih namun bendera tersebut bendera RI


Latihan 3.1
1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut beserta nilainya.
a. Jika Jakarta ibukota NTT maka 2 + 3 = 6.
b. Jika Jakarta ibukota NTT maka 2 + 3 = 5.
c. Jika Jakarta bukan ibukota NTT maka 2 + 3 = 6
d. Jika Jakarta bukan ibukota NTT maka 2 + 3 = 5
e. Jika suatu bendera adalah bendera Jepang, maka ada bintang pada bendera tersebut.
f. a > 0 ⇒ a3 > 0

2. Apa yang anda dapatkan dari hasil jawaban soal-soal itu?

3. Buatlah ingkaran dari implikasi, beserta konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut ini.
a. Jika Jakarta ibukota NTT maka 2 + 3 = 6.
b. Jika Jakarta ibukota NTT maka 2 + 3 = 5.
c. Jika Jakarta bukan ibukota NTT maka 2 + 3 = 6
d. Jika Jakarta bukan ibukota NTT maka 2 + 3 = 5
e. Jika suatu bendera adalah bendera Jepang, maka ada bintang pada bendera tersebut.
f. Jika dua persegipanjang kongruen maka luasnya sama.
g. Jika segitiga ABC adalah segitiga samasisi maka sisi-sisi segitiga tersebut sama panjang.

4. Apa yang anda dapatkan dari hasil jawaban soal 3 itu?

SUMBER; Diklat Guru Pengembangan Matematika SMK Jenjang dasar tahun 2009